Kurt Azesberger erhielt seine erste stimmliche Ausbildung bei den St. Florianer Sängerknaben. Danach gehörte er wie auch Franz Welser-Möst zu den ersten Absolventen des Linzer Musikgymnasiums. Mit seinem Lehrer Balduin Sulzer verband ihn eine lebenslange Freundschaft, bis zuletzt arbeitete Azesberger für das Sulzermuseum in Wilhering. Seit 2014 wirkte Azesberger zudem als Stiftskapellmeister im Stift Wilhering.
Bekannt geworden durch Mozart-Rollen
International bekannt wurde der in Arnreit (Bezirk Rohrbach) aufgewachsenen Sänger auf der Opernbühne vor allem durch seine Verkörperung von Mozartrollen, im Konzertleben war er dank seiner unvergleichlich klaren Stimme ein gefragter Evangelist in den Passionen von Johann Sebastian Bach.
Als Dozent einer Masterklasse an der Bruckneruniveristät gab er sein Wissen und seine Erfahrung an den Sängernachwuchs weiter. Mit Kurt Azesberger verliert das oberösterreichische Musikleben eine prägende Persönlichkeit.